求0≤y≤sinx，0≤x≤π所围平面图形绕y轴旋转所得立体的体积．

Question

求0≤y≤sinx，0≤x≤π所围平面图形绕y轴旋转所得立体的体积．

Answer 1

由y=sinx（0≤x≤π），得x=arcsiny（0≤x≤(π)/(2)）和x=π-arcsiny（(π)/(2)≤x≤π），
从而所求旋转体体积是这两个曲线与坐标轴所围成平面图形绕y轴旋转而成旋转体的体积之差
∴V=π

∫

1 0

(π-arcsiny)2dy-π

∫

1 0

(arcsiny)2dy
=π

∫

1 0

[π2-2arcsiny]dy
=π³-2π[yarcsiny

|

1 0

-

∫

1 0

(y)/(√(1-y2))dy]
=π³-π²-2√(1-y2)

|

1 0

=π³-π²-2