如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A（23，0），C（0，2）．（1）抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），在旋

Question

如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A（2√(3)，0），C（0，2）．
（1）抛物线y=-x²+bx+c经过点B、C，求该抛物线的解析式；
（2）将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；
（3）如图（2），将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜180°），将得到矩形OA′B′C′，设A′C′的中点为点E，连接CE，当θ=______°时，线段CE的长度最大，最大值为______．

Answer 1

（1）∵矩形OABC，A（2√(3)，0），C（0，2），∴B（2√(3)，2）．
∴抛物线的对称轴为x=√(3)．∴b=√(3)．
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2√(3)x+2．

（2）①当顶点A落在对称轴上时，设点A的对应点为点A′，连接OA′，
设对称轴x=√(3)与x轴交于点D，∴OD=√(3)．
∴OA′=OA=2√(3)．
在Rt△OA′D中，根据勾股定理A′D=3．
∴A′（√(3)，-3）． 
②当顶点落C对称轴上时（如图），设点C的对应点为点C′，连接OC′，
在Rt△OC′D中，根据勾股定理C′D=1．
∴C′（√(3)，1）．

（3）如右图，设AC、OB的交点为E；
在Rt△OAB中，OA=2√(3)，AB=2，∴∠BOA=30°，OE=AB=2；
在OE旋转过程中，可将点E的轨迹看作是以O为圆心，以OE为半径的圆（旋转角度：0°～180°）；
由图可看出，当点E运动到y轴负半轴上时（即点E′的位置），CE最长；
此时，旋转的角度：∠EOE′=∠BOA+90°=30°+90°=120°；
CE的最长值：CE′=OC+OE′=2+2=4；
故填：120°，4．