证明:x^4+x^3+1在有理数集内不可约用以2为模的算术解

Question

证明:x^4+x^3+1在有理数集内不可约
用以2为模的算术解

Answer 1

证明;：设f(X)=x^4+x^3+1,
假设在有理数可约,则存在m≠n,且互质,使f(X)=(x-m/n)*g(x)
∴f(m/n)=0*g(x)=0
即m^4/n^4+m^3/n^3+1=0
m^4+m^3*n+n^4=0
∵m^3*n+n^4有因数n
∴m^4也有因数n,
则m、n不互质.与假设矛盾
∴x^4+x^3+1在有理数集内不可约