如图所示，倾角为θ=30o的光滑斜面上有固定挡板AB，斜面上B、C两点间高度差为h．斜面上叠放着质量均为m的薄木板和小物块，木板长为L，下端位于挡板AB处，整体处于静止状态．木板和物块

Question

如图所示，倾角为θ=30^o的光滑斜面上有固定挡板AB，斜面上B、C 两点间高度差为h．斜面上叠放着质量均为m的薄木板和小物块，木板长为L，下端位于挡板AB处，整体处于静止状态．木板和物块两者间的动摩擦因数μ=(√(3))/(2)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．重力加速度为g． 

（1）若木板和物块一起以某初速度沿斜面向上运动，木板上端恰能运动到C点，求初速度大小v₀；
（2）若对木板施加沿斜面向上的拉力，为使木板上滑且与物块间没有相对滑动，求拉力应满足的条件；
（3）若给木板施加大小为F=2mg、方向沿斜面向上的拉力，此后运动过程中小物块始终未脱离木板，要使木板上端恰能运动到C点，求拉力F作用的时间t₁．

Answer 1

（1）研究木板和小物块整体，由动能定理有
-2mg（h-Lsinθ）=0-(1)/(2)•2m

v

2 0

解得  v₀=√(g(2h-L))
（2）设物块沿斜面向上运动的最大加速度为a，最大拉力为F_m，则
μmgcosθ-mgsinθ=ma
对整体有  F_m-2mgsinθ=2ma
解得  F_m=1.5mg
要使整体能沿斜面上升应满足  F>2mgsinθ=mg
所以  mg<F≤1.5mg
（3）物块相对木板滑动过程中，设物块的加速度为a₁，有拉力作用时木板的加速度为a₂，撤去拉力后木板的加速度大小为a₃，则
对物块  μmgcosθ-mgsinθ=ma₁．
对木板  F-mgsinθ-μmgcosθ=ma₂．
     mgsinθ+μmgcosθ=ma₃．
解得 a₁=(1)/(4)g，a₂=(3)/(4)g，a₃=(5)/(4)g
在t₁时刻小物块的速度为v₁，木板的速度v₂，则
  v₁=a₁t₁，v₂=a₂t₁．
设撤去拉力后，经过时间t₂二者速度相同，则
   v₃=v₂-a₃t₂=v₁+a₁t₂
此后二者一起匀减速上滑，设加速度大小为a₄，则
   2mgsinθ=2ma₄．
全过程中木板的位移  x=(1)/(2)a2

t

2 1

+a₂t₁t₂-(1)/(2)a3

t

2 2

+(v23)/(2a4)
由几何关系有  (h)/(sinθ)=x+L
联列解得拉力F作用的时间 t₁=√((3(2h-L))/(2g)) 
答：（1）初速度大小v₀是√(g(2h-L))．
（2）拉力应满足的条件是mg<F≤1.5mg．
（3）拉力F作用的时间t₁是√((3(2h-L))/(2g))．