证明抽象代数中的题如果S是群G的子集，则S所生成的子群是包含所有S的元素的G的最小子群

Question

证明抽象代数中的题
如果 S 是群 G 的子集，则 S 所生成的子群 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群

Answer 1

设S={s1,s2,……,}是G的子集,令S-1={s1-1,s2-1,……},则={a1a2……an……,其中ak是S或S1任一元,可以重复取},则可以证明是包含S元素的子群,并是所有包含S元素的最小子群.
证明：是G的子群容易验证.设H为包含S的任一子群,根据群定义s1-1,s2-1,……都属于H,即S-1含于H,而且H还包含S和S-1中任意多个元的乘积,这说明包含于H中.
由H的任意性,所以 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群
证毕!