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设H是有限群G的一个非平凡子群,证明H所有的共轭子群并起来不等于G
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设H是有限群G的一个非平凡子群,证明H所有的共轭子群并起来不等于G
▼优质解答
答案和解析
证：（1）若H是G的正规子群,则H的共轭子群只有自身.又因为H是G的一个真子群,所以H所有的共轭子群并起来是G的真子群,不等于G.
（2）若H不是G的正规子群,记N(H)为H的正规化子,正规化子定义为N(H) = {g∈G :gH = Hg}.
正规化子是最大的满足包含H为其正规子群的G的子群.又由H不在G中正规,可得N(H)是G的真子群.
我们把H所有的共轭子群并起来得到的集合记为K,很容易验证K包含H,且K是G的子群.
另外K显然是G的正规子群(因为对任意a∈G,aKa^-1=∪(agH(ag)^-1)=∪(bHb^-1)=K).
由于最大的正规子群都是G的真子群,所以K也是G的真子群,也就有K≠G.
（2）若H不是G的正规子群,记N(H)为H的正规化子,正规化子定义为N(H) = {g∈G :gH = Hg}.
正规化子是最大的满足包含H为其正规子群的G的子群.又由H不在G中正规,可得N(H)是G的真子群.
我们把H所有的共轭子群并起来得到的集合记为K,很容易验证K包含H,且K是G的子群.
另外K显然是G的正规子群(因为对任意a∈G,aKa^-1=∪(agH(ag)^-1)=∪(bHb^-1)=K).
由于最大的正规子群都是G的真子群,所以K也是G的真子群,也就有K≠G.
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