高等代数设(f,g)=1.证明：(f,f+g)=(g,f+g)=(fg,f+g)=1

Question

高等代数设(f,g)=1.证明：(f,f+g)=(g,f+g)=(fg,f+g)=1

Answer 1

因为（f,g）=1,所以存在u（x）、v（x）,使得uf+vg=1
所以（u-v）f+v（f+g）=1
u（f+g）+（v-u）g=1
从而（f,f+g）=（g,f+g）=1
且（u-v）f=1-v（f+g）…（1）
（v-u）g=1-u（f+g）…（2）
（1）乘（2）,得
-（v-u）^2fg=1-v（f+g）-u（f+g）+uv（f+g）^2
从而（v+u-uv（f+g））（f+g）-（v-u）^2（fg）=1
所以（fg,f+g）=1