如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=

3

，BC=1，PA=2，E为PD的中点．

（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

Answer 1

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（

3

，0，0）、C（

3

，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，(1)/(2)，1），从而

PD

＝(0，1，−2)，

PB

＝(

3

，0，−2)．…（2分）
设平面PBD的一个法向量为

n

＝(x，y，z)，则

n

•

PD

＝0

n

•

PB

＝0

即

y−2z＝0

3

x−2z＝0

令z=1，得

n

=（(2)/(3)，2，1）
所以点C到平面PBD的距离d＝(|PC•n|)/(|n|)＝(257)/(19)…（6分）
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则

NE

＝(−x，(1)/(2)，1−z)，
由NE⊥面PAC可得，

NE

•

AP

＝0

NE

•

AC

＝0

即

z−1＝0

−

3

x+(1)/(2)＝0

∴x=(3)/(6)，z=1 …10 分
即N点的坐标为((3)/(6)，0，1)，从而N点到AB、AP的距离分别为1，(3)/(6) …（12分）