在三角形abc中,向量AB=向量a,向量AC=向量b,角BAC=45度,若向量a的膜=2,则向量a-向量tb的膜的最小值为多少

Question

在三角形abc中,向量AB=向量a,向量AC=向量b,角BAC=45度,若向量a的膜=2,则向量a-向量tb的膜的最小值为多少

Answer 1

这样的题目大致有2类做法：解析法和数形结合法
解析：a dot b=|a|*|b|*cos(π/4)=2|b|*sqrt(2)/2=sqrt(2)|b|
|a-tb|^2=(a-tb) dot (a-tb)=|a|^2+t^2|b|^2-2t(a dot b)=t^2|b|^2-2sqrt(2)|b|+4
=t^2(|b|-sqrt(2)/t)^2+2,题目中t是不能为0的,t=0,a-tb=a,是一个定向量
t>0时,二次函数的对称轴：sqrt(2)/t>0,最小值为2,即|a-tb|是最小值为：sqrt(2)
t<0时,二次函数的对称轴：sqrt(2)/t<0,而|b|>0,此时,函数在(0,+inf)上是增函数
函数的取值能够趋于t^2*2/t^2+2=4,即：|a-tb|没有最小值,只能趋于该值2,却不能取得该值
但考虑极端情况,t可以取0,即t≤0时,|a-tb|最小值是2
综合：|a-tb|的最小值：sqrt(2)
数形：
t>0时,a-tb与AC垂直时,|a-tb|最小,此时|a-tb|=sqrt(2)
t<0时,a-tb相当于a和-tb的和向量,如果t不能取0的话,和向量的模值可以趋于|a|
但却不能等于|a|,如果t≤0,则|a-tb|的最小值是|a|,即2
综合：|a-tb|的最小值：sqrt(2)