如图，在菱形ABCD中，分别过B、D作对边的垂线，垂足分别为E、F、G、H．若四边形EFGH的面积与菱形ABCD的面积之比为4：9，则sinA=．

Question

如图，在菱形ABCD中，分别过B、D作对边的垂线，垂足分别为E、F、G、H．若四边形EFGH的面积与菱形ABCD的面积之比为4：9，则sinA=___．

Answer 1

连接BD．∵BE⊥AD，DH⊥AB，
∴∠AEB=∠AHD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
在△ADH和△AEB中，

∠AHD=∠AEB

∠A=∠A

AD=AB

，
∴△ADH≌△ABE，
∴AE=AH．
∴∠AEH=∠AHE，
∵∠ADH=∠ABD，
∴∠A+2∠AEH=180°，∠A+2∠ADB=180°，
∴∠AEH=∠ADB，
∴EH∥BD，同理可证FG∥BD，
∴EH∥FG，同理可得EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF∥AC
∴EF⊥BD，∵EH∥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
设AB=BC=CD=AD=x，则AE=AH=x•cosA，
∵(EH)/(BD)=(AH)/(AB)，
∴EH=BD•cosA，同法可得EF=AC•（1-cosA），
∵(S矩形EFGH)/(S菱形ABCD)=(EF•EH)/((1)/(2)•AC•BD)=(4)/(9)，
∴(AC•BD•cosA(1-cosA))/((1)/(2)•AC•BD)=(4)/(9)，
整理得9coc²A-9cosA+2=0，
解得cosA=(1)/(3)或(2)/(3)，
∴sinA=(2√(2))/(3)或(√(5))/(3)．
故答案为(2√(2))/(3)或

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