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如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F.(1)证明:AM=DM;(2)若DF=2,求菱形ABCD的周长;(3)在没有辅助线的前提下,图中共有对相似三角
题目详情
如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F.
(1)证明:AM=DM;
(2)若DF=2,求菱形ABCD的周长;
(3)在没有辅助线的前提下,图中共有______对相似三角形.
(1)证明:AM=DM;
(2)若DF=2,求菱形ABCD的周长;
(3)在没有辅助线的前提下,图中共有______对相似三角形.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接BD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵EM⊥AC,
∴EM∥BD,
∵E为AB的中点,
∴M为AD的中点,
∴AM=DM;
(2)∵EB∥FD,EM∥BD,
∴四边形FDBE是平行四边形,
∴FD=BD,
∵DF=2,
∴BE=2,
∴AB=2BE=2×2=4,
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16;
(3)设ME与AC的交点为G,相似三角形有:
△AGE∽△AGM,△AGE∽△CGF,△AGM∽△CGF,△AEM∽△DFM,△ABC∽△ADC共5对.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵EM⊥AC,
∴EM∥BD,
∵E为AB的中点,
∴M为AD的中点,
∴AM=DM;
(2)∵EB∥FD,EM∥BD,
∴四边形FDBE是平行四边形,
∴FD=BD,
∵DF=2,
∴BE=2,
∴AB=2BE=2×2=4,
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16;
(3)设ME与AC的交点为G,相似三角形有:
△AGE∽△AGM,△AGE∽△CGF,△AGM∽△CGF,△AEM∽△DFM,△ABC∽△ADC共5对.
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