设三元实二次型f(x)经正交变换x=Qy可化成标准型f(y)=y1^2+y2^2,且（0,-1,1）是Ax=0的解.求所用的正交变换

Question

设三元实二次型f(x)经正交变换x=Qy可化成标准型f(y)=y1^2+y2^2,且（0,-1,1）是Ax=0的解.求所用的正交变换

Answer 1

因为f正交变换化成标准型f(y)=y1^2+y2^2
所以A有特征值1,1,且A可对角化.
又因为 α3=(0,-1,1)^T是Ax=0的解
所以0是A的特征值,且α3是属于特征值0的特征向量.
因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交
所以属于特征值1的特征向量(x1,x2,x3)^T与α3正交
即有:-x2+x3=0.
所以 α1=(1,0,0)^T,α2=(0,1,1)^T.
单位化得
β1=(1,0,0)^T
β2=(0,1/√2,1/√2)^T
β3=(0,-1/√2,1/√2)^T
令 Q=(β1,β2,β3)=
1 0 0
0 1/√2 -1/√2
0 1/√2 1/√2
则Q是正交矩阵,所用正交变换为 x=Qy.