如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，P（a，b）为双曲线y＝12x(x＞0)上的一点，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．（1）用含a，b的代数式表示E、F两点的坐标及△EOF的面积；（

Question

如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，P（a，b）为双曲线y＝(1)/(2x)(x＞0)上的一点，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．
（1）用含a，b的代数式表示E、F两点的坐标及△EOF的面积；
（2）△EOF与△BOE是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由；
（3）无论点P在双曲线第一象限部分上怎样移动，证明∠EOF是一个定值．

Answer 1

（1）由题意知：A（1，0），B（0，1）；
则：OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，△BNF、△EMA为等腰直角三角形；
∴BN=NF=1-b，EM=MA=1-a，即E（a，1-a），F（1-b，b）；
S_△EOF=S_△AOF-S_△AOE=(1)/(2)b-(1)/(2)（1-a）=(1)/(2)×1×[b-（1-a）]=(1)/(2)（a+b-1）．

（2）已知：B（0，1）、E（a，1-a）、F（1-b，b）；
则PF=PN-FN=a-（1-b）=a+b-1，PE=PM-EM=b-（1-a）=a+b-1，
在直角三角形PEF中，根据勾股定理得：EF=√((a+b−1)2+(b−1+a)2)=√(2)（a+b-1），
同理：OE=√(a2+(1−a)2)=√(2a2−2a+1)，BE=√(a2+(1−a−1)2)=√(2)a；
因此：OE²=2a²-2a+1，EF•BE=2a（a+b-1）=2a²-2a+2ab；
由于点P在反比例函数的图象