已知正三棱锥P-ABC的侧棱长是6,底面正三角形边长是4,M、N分别是AB、PC的中点,则MN与PB所成角大小?同上

Question

已知正三棱锥P-ABC的侧棱长是6,底面正三角形边长是4,M、N分别是AB、PC的中点,则MN与PB所成角大小?
同上

Answer 1

取PA的中点D,连接DM、DN,
由MD是△ABP的中位线——》MD∥PB,——》∠DMN=MN与PB所成角,
连接MC、MP,则：MC=v3/2*4=2v3,MP=v(PA^2-AM^2)=4v2,
在△PMC与△NMC中,由余弦定理：
cos∠PCM=(PC^2+MC^2-MP^2)/2*PC*MC=(NC^2+MC^2-MN^2)/2*NC*MC
——》MN=v13,
MD=PB/2=3,DN=AC/2=2,
在△NMD中,由余弦定理：
cos∠DMN=(MD^2+MN^2-DN^2)/2*MD*MN=3v13/13,
所以∠DMN=arccos3v13/13.