复数表示几何的一个小疑问:以单位圆圆心为原点圆上点A,B分别为复数a,b,过两点作切线,交点坐标如何表示?好像是2ab/(a+b)

Question

复数表示几何 的一个小疑问:以单位圆圆心为原点 圆上点A,B分别为复数a,b,过两点作切线,交点坐标如何表示?
好像是2ab/(a+b)

Answer 1

老实说我是看了楼主给出的答案才知道是这么回事,如果要正面推导的话估计我得列方程了.
首先从几何方面分析一组相似关系：
令圆心为O,切线交点为C,连接OC与AB交于点D
那么,不难证明：Rt△OAD 相似于 Rt△OCA
那么在长度上有：OA^2 = OD * OC
接下来从复数方面证明这个式子是对的：
复数可以理解为向量,证明2ab/(a+b)表示的是交点从两方面：
（1）辐角：
ab的辐角 = a的辐角 + b的辐角；
而由于a,b长度相等（均为1）,a+b的辐角 = (a的辐角 + b的辐角)/2
那么 2ab/(a+b) 的辐角即 = a+b的辐角 = (a的辐角 + b的辐角)/2,恰为OC的辐角
（2）幅值：
在集合上已经证明：OC = OA^2 / OD = 1/OD
2ab的幅值为 2
a+b的幅值恰为 2OD
因此 2ab/(a+b) 的幅值也恰为 OC 的长度
证明完毕!