再来一道题,已知X+Y=12求√(x^2+1)+√(y^2+16)最小值

Question

再来一道题,已知X+Y=12 求√(x^2+1) + √(y^2+16) 最小值

Answer 1

设z=√(x^2+1) + √(y^2+16)>0
z^2=[√(x^2+1)+ √(y^2+16)]^2
=(x^2+1)+(y^2+16)+2√(x^2+1)(y^2+16)
=(x^2+y^2+17)+2√(x^2y^2+16x^2+y^2+16)
≥(x^2+y^2+17)+2√(x^2y^2+2*4x*y+16)
=(x^2+y^2+17)+2√(xy+4)^2
=(x^2+y^2+17)+2|xy+4|
当xy+4≥0时,
z^2≥(x^2+y^2+17)+2(xy+4)
=(x^2+y^2+2xy)+(17+8)
=(x+y)^2+25
=12^2+25
=169=13^2
∴此时z的最小值为13
当xy+4≤0时,xy≤-4,-xy≥4
z^2≥(x^2+y^2+17)-2(xy+4)
=(x^2+y^2-2xy)+(17-8)
=(x+y)^2+9-4xy
≥(x+y)^2+9+4*4
=12^2+9+16
=169=13^2
∴此时z的也最小值为13
综上所述,z的最小值为13