如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在BC，CD边上，将△CEF沿EF翻折，点C的对应点为M．（1）如图1，当CE=5，M点落在AD边上时，求MD的长．（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动

Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在BC，CD边上，将△CEF沿EF翻折，点C的对应点为M．
（1）如图1，当CE=5，M点落在AD边上时，求MD的长．
（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△CEF沿EF折叠，连接BM，若△BME是直角三角形，求此时CE的长．

Answer 1

（1）如图1，作EN⊥AD于点N，
∴∠ANE=∠ENM=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，
∴∠A=∠B=∠ANE=90°，
∴AB=NE=4，AN=BE．
∵EC=5，
∴BE=3，
∴AN=3．
∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，
∴△EFC≌△EFM，
∴EC=EM=5．
在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，
∴MD=8-3-3=2．
答：MD的长为2；
（2）①如图2，当∠BME=90°时，
∵∠EMF=90°，
∴∠BMF=180°，
∴B、M、F在同一直线上．
∵F是BC的中点，
∴CF=DF=(1)/(2)CD=2．
∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，
∴△EFC≌△EFM，
∴MF=CF=2，EC=EM．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF=2 √(17)．
∴BM=2 √(17)-2．
设EC=EM=x，则BE=8-x，
在Rt△BME中，由勾股定理，得（8-x）²-x²=（2 √(17)-2）²，
解得：x=(√(17)-2)/(2)．
∴CE=(√(17)-1)/(2)；
如图3，当∠BEM=90°时，
∴∠MEC=90°
∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，
∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，
∴四边形ECFM是正方形，
∴MF=CE=2．
∴CE=2或 (√(17)-1)/(2)．