柯西不等式是什么?怎么用?给几个例子瞧瞧···

Question

柯西不等式是什么? 怎么用 ?
给几个例子瞧瞧···

Answer 1

(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零.
二维形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2
应用：
例1：求函数y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值.
y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2;+4^2;)×√{ [√(x－5)] ^2;+ [√(9－x)]^2; }=5×2=10
函数仅在4√(x－5)=3√(9－x),时取到.
例2：求证（a\b+b\c+c\a）（b\a+c\b+a\c）≥9
原式≥（√a\b*√b\a+√b\c*√c\b+√c\a*√a\c）的平方=9
例3：已知a+b+c=1,求√4a+1+√4b+1+√4c+1的最大值
原式的平方≤（1+1+1）（4a+1+4b+1+4c+1）=3*7=21
所以最大值为√21