自点P（-6，7）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-8x-6y+21=0相切．（1）求光线l所在直线的方程；（2）求光线从P点到切点所经过的路程．

Question

自点P（-6，7）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²+y²-8x-6y+21=0相切．
（1）求光线l所在直线的方程；
（2）求光线从P点到切点所经过的路程．

Answer 1

（1）根据光线的对称性，P（-6，7）关于x轴的对称点为A（-6，-7），
∴被x轴反射后的光线过A点，设反射光线所在直线方程为y+7=k（x+6），即kx-y+6k-7=0，
∵圆的标准方程为（x-4）²+（y-3）²=4，反射光线所在直线与圆相切，
∴(|4k−3+6k−7|)/(√(1+k2))=2⇒k=-(3)/(4)或-(4)/(3)．
∴反射光线所在直线方程为y+7=-(3)/(4)（x+6）或y+7=-(4)/(3)（x+6），
又入射光线与反射光线关于x轴对称，
∴光线l所在直线方程为3x-4y+46=0或4x-3y+45=0；
（2）光线从P点到切点所经过的路程等于A点到切点所经过的路程，
A点到圆心的距离为√((−6−4)2+(−7−3)2)=10√(2)，
∴P点到切点所经过的路程为√(200−4)=14．