设p(1,0)关于直线y=kx的对称点是Q,直线oq的斜率为f(k),(1)写出衣k为自变量的函数f(k)的表达式,并求其定义域.(2)写出函数f(k)的奇偶性并说明理由(3)求函数f(k)在2,4上的最大值

Question

设p(1,0)关于直线y=kx的对称点是Q,直线oq的斜率为f(k),(1)写出衣k为自变量的函数f(k)的表达式,并求其定义域.(2)写出函数f(k)的奇偶性并说明理由(3)求函数f(k)在【2,4】上的最大值

Answer 1

(1) PQ的斜率：-1/k
PQ直线方程：y=-1/k(x-1)
PQ与y=kx的足点M：kx=-1/k(x-1)
(k^2+1)x=1
x=1/(k^2+1)
y=k/(k^2+1)
M(1/(k^2+1),k/(k^2+1))
Q(x1,y1)
(x1+1)/2=1/(k^2+1)
x1=2/(k^2+1)-1=(1-k^2)/(k^2+1)
(y1+0)/2=k/(k^2+1)
y1=2k/(k^2+1)
Q((1-k^2)/(k^2+1),2k/(k^2+1))
OQ的斜率：f(k)=(2k/(k^2+1)-0)/((1-k^2)/(k^2+1)-0)
=2k/(1-k^2)
定义域：1-k^2≠0
k≠±1
(2) f(-k)=2(-k)/(1-(-k)^2)
=-2k/(1-k^2)
=-f(k)
f(k)是奇函数
(3) f(k)=2k/(1-k^2)
y=2k是增函数
y=1-k^2在x>0时是减函数
∴f(k)在[2,4]上是增函数
最大值在k=4时取得：f(k)max=f(4)=2*4/(1-4^2)=-8/15