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p^3*根号下1-p^2的原函数是什么?怎么求的
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p^3*根号下1-p^2的原函数是什么?怎么求的
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答案和解析
∵∫p^3√（1－p^2）dp＝（1/2）∫p^2√（1－p^2）d（p^2）.
∴可令p^2＝t,得：∫p^3√（1－p^2）dp＝（1/2）∫t√（1－t）dt.
令√（1－t）＝x,则：1－t＝x^2,∴t＝1－x^2,∴dt＝－2xdx.
∴∫p^3√（1－p^2）dp
＝（1/2）∫（1－x^2）x（－2x）dx＝∫（x^2－1）x^2dx＝∫x^4dx－∫x^2dx
＝（1/5）x^5－（1/3）x^3＋C＝（1/5）［√（1－t）］^5－（1/3）［√（1－t）］^3＋C
＝（1/5）［（1－t）^2］√（1－t）－（1/3）（1－t）√（1－t）＋C
＝（1/5）［（1－p^2）^2］√（1－p^2）－（1/3）（1－p^2）√（1－p^2）＋C.
∴可令p^2＝t,得：∫p^3√（1－p^2）dp＝（1/2）∫t√（1－t）dt.
令√（1－t）＝x,则：1－t＝x^2,∴t＝1－x^2,∴dt＝－2xdx.
∴∫p^3√（1－p^2）dp
＝（1/2）∫（1－x^2）x（－2x）dx＝∫（x^2－1）x^2dx＝∫x^4dx－∫x^2dx
＝（1/5）x^5－（1/3）x^3＋C＝（1/5）［√（1－t）］^5－（1/3）［√（1－t）］^3＋C
＝（1/5）［（1－t）^2］√（1－t）－（1/3）（1－t）√（1－t）＋C
＝（1/5）［（1－p^2）^2］√（1－p^2）－（1/3）（1－p^2）√（1－p^2）＋C.
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