哎,已知：抛物线过点R（a,0）,其准线L的方程为x=-a（a不等于0）1.求抛物线顶点P的轨迹C的方程.2.在曲线C上是否存在关于点Q（1/2,1）对称的两点,若存在,求出经过这两点的直线方程；若不存在,

Question

哎,
已知：抛物线过点R（a,0）,其准线L的方程为x=-a（a不等于0）
1.求抛物线顶点P的轨迹C的方程.
2.在曲线C上是否存在关于点Q（1/2,1）对称的两点,若存在,求出经过这两点的直线方程；若不存在,说明理由.

Answer 1

第一问,先设抛物线焦点为（x0,y0）,所以,根据抛物线定义有：
(a-x0)^2+(y0)^2=4*a^2
再设抛物线定点为(x,y),所以根据焦点、顶点、准线的关系有：
x=(x0-a)/2,y=y0；所以,x0=2x+a,y0=y.
代入第一个式子有4*x^2+y^2=4*a^2
化简得：x^2/a^2+y^2/(4*a^2)=1
第二问,先假设存在这么一条直线,则直线方程为y-1=kx-k/2
假设这条直线与曲线C交于(x1,y1)与(x2,y2)两点.
所以x1^2/a^2+y1^2/(4*a^2)=1 …………一式
x2^2/a^2+y2^2/(4*a^2)=1 …………二式
一式减二式得,(x1+x2)(x1-x2)/a^2+(y1+y2)(y1-y2)/(4*a^2)=0
又由于(x1+x2)/2=1/2,(y1+y2)/2=1,所以有
x1-x2+(y1-y2)/2=0
所以1+k/2=0,k=-2.
所以所求直线方程为y=-2x+2,即2x+y-2=0