计算曲面积分∬Σxyzdxdy，其中Σ是球面x2+y2+z2=1在第五卦限的外侧．

Question

计算曲面积分

∬

Σ

xyzdxdy，其中Σ是球面x²+y²+z²=1在第五卦限的外侧．

Answer 1

由于球面x²+y²+z²=1在第五卦限部分，有z＝−√(1−x2−y2)，且第五卦限部分在xoy面的投影为
Dxy＝{(x，y)|0≤x2+y2≤1，0≤x≤1，0≤y≤1}={(r，θ)|0≤r≤1，0≤θ≤(π)/(2)}
∴

∬

Σ

xyzdxdy=−

∫∫

Dxy

xy(−√(1−x2−y2))dxdy
=

∫

(π)/(2) 0

sinθcosθdθ

∫

1 0

r2√(1−r2)•rdr
=(1)/(4)

∫

1 0

r2√(1−r2)dr2
=(1)/(4)((2)/(3)−(3)/(5))＝(1)/(60)