快证牛顿定理：圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线.不要用面积法证明.

Question

快证牛顿定理：圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线.
不要用面积法证明.

Answer 1

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证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形,E和F分别是它的对角线AC和BD的中点,连接EI只需证它过点F,即只需证△BEI与△DEI面积相等.
显然S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE,而S△DEI=S△AIE+S△ADE-S△AID.
注意两个式子,由ABCD外切于⊙I,AB+CD=AD+BC,S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD,S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD
即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE,移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID,由E是AC中点,S△CEI=S△AEI,故S△BIC+S△CEI-S△BCE=S△AIE+S△ADE-S△AID,即S△BEI=△DEI,而F是BD中点,由共边比例定理EI过点F即EF过点I,故结论成立.
证毕.