求序列极限lim(n->∞)(1+1/n^2)*(1+2/n^2)*...*(1+n/n^2)

Question

求序列极限lim(n->∞) (1+1/n^2)*(1+2/n^2)*...*(1+n/n^2)

Answer 1

答案 √e
思路与提示：化成表达式 (n^2+n)!/[(n^2)!*n^(2n)]
用stirling公式,再经过整理 转化为求lim(n->∞) (1+1/n)^(n^2+n)/e^n
取ln 极限值为lim(n->∞) exp((n^2+n)ln(1+1/n)-n) 利用ln(1+1/n)=1/n-1/2n^2+O(1/n^3)
得到答案