在自然哲学之数学原理牛顿所提的弧长的正矢是何意（这里的正矢应该不是指versinθ=1-cosθ）谢谢

Question

在自然哲学之数学原理牛顿所提的弧长的正矢是何意（这里的正矢应该不是指versin θ= 1 - cosθ）谢谢

Answer 1

由图中可知：AD＝f,即曲线正矢；BD＝L/2,即弦长的一半.
正矢计算公式为：f＝（L/2）2/（2R－f）＝L2/4（2R－f）.
在（2R－f）中,由于f与2R相比甚小,可忽略不计,
则公式可近似写成为：f＝L2/8R
弦长L现场一般取为20m ,当L＝20m时,有f＝50000/R
而精确的的正矢数值应当为：f＝R（1－cos(α/2)）
假定有一曲线,半径R＝500米,用近似公式求得的正矢为：
f＝50000/R＝50000/500＝100mm
精确的正矢值为：
f＝R（1－cos(α/2)）＝500×（1－cos(10/500)）=99.99666mm
二者相差不到0.1mm,所以利用简便公式不影响计算结果,该公式完全可以在日常生产中使用.