若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”．（1）请写出二次函数y=2（x-2）2+1的“对称二次函数”；（2）已知关于x的二次

Question

若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”．
（1）请写出二次函数y=2（x-2）²+1的“对称二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y₁=x²-3x+1和y₂=ax²+bx+c，若y₁-y₂与y₁互为“对称二次函数”，求函数y₂的表达式，并求出当-3≤x≤3时，y₂的最大值．

Answer 1

（1）二次函数y=2（x-2）²+1的“对称二次函数”是y=-2（x-2）²+1；

（2）∵y₁=x²-3x+1，y₂=ax²+bx+c，
∴y₁-y₂=（1-a）x²-（3+b）x+1-c=（1-a）•[x-(3+b)/(2(1-a))]²+((3+b)2+4(1-c)(a-1))/(4(a-1))．
又y₁-y₂与y₁互为“对称二次函数”，y₁=x²-3x+1=（x-(3)/(2)）²-(5)/(4)，
∴

1-a=-1

(3+b)/(2(1-a))=(3)/(2)

((3+b)2+4(1-c)(a-1))/(4(a-1))=-(5)/(4)

，解得

a=2

b=-6

c=(9)/(2)

，
∴y₂=2x²-6x+(9)/(2)，
∴y₂=2（x-(3)/(2)）²，
∴y₂的对称轴为直线x=(3)/(2)，
∵2>0，且-3≤x≤3，
∴当x=-3时，y_2最大值=2×（-3）²-6×（-3）+(9)/(2)=(81)/(2)．