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若两个二次函数图象的顶点相同,开口大小相同,但开口方向相反,则称这两个二次函数为“对称二次函数”.(1)请写出二次函数y=2(x-2)2+1的“对称二次函数”;(2)已知关于x的二次

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若两个二次函数图象的顶点相同,开口大小相同,但开口方向相反,则称这两个二次函数为“对称二次函数”.
(1)请写出二次函数y=2(x-2)2+1的“对称二次函数”;
(2)已知关于x的二次函数y1=x2-3x+1和y2=ax2+bx+c,若y1-y2与y1互为“对称二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当-3≤x≤3时,y2的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)二次函数y=2(x-2)2+1的“对称二次函数”是y=-2(x-2)2+1;

(2)∵y1=x2-3x+1,y2=ax2+bx+c,
∴y1-y2=(1-a)x2-(3+b)x+1-c=(1-a)•[x-
3+b
2(1-a)
]2+
(3+b)2+4(1-c)(a-1)
4(a-1)

又y1-y2与y1互为“对称二次函数”,y1=x2-3x+1=(x-
3
2
2-
5
4

1-a=-1
3+b
2(1-a)
=
3
2
(3+b)2+4(1-c)(a-1)
4(a-1)
=-
5
4
,解得
a=2
b=-6
c=
9
2

∴y2=2x2-6x+
9
2

∴y2=2(x-
3
2
2
∴y2的对称轴为直线x=
3
2

∵2>0,且-3≤x≤3,
∴当x=-3时,y2最大值=2×(-3)2-6×(-3)+
9
2
=
81
2
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