如图所示，AB与CD是倾斜角为530的两对称的粗糙斜面，A与D，B与C分别位于同一水平面上，两斜面与光滑圆弧轨道相切于B、C两点，E为轨道的最低点．A、B两点的高度h=1.5m，圆弧轨道的半径R=0.5m

Question

如图所示，AB与CD是倾斜角为53⁰的两对称的粗糙斜面，A与D，B与C分别位于同一水平面上，两斜面与光滑圆弧轨道相切于B、C两点，E为轨道的最低点．A、B两点的高度h=1.5m，圆弧轨道的半径R=0.5m，滑块P的质量m=0.8kg，滑块与斜面间的动摩擦因素μ=0.05，重力加速度g取10m/s²，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，求：

（1）滑块P至少以多大的初速度v₀从A点下滑，才能冲上斜面CD到达D点？
（2）若滑块P在A点由静止开始下滑，求它在两斜面上走过的路程S？
（3）若滑块P在A点由静止开始下滑，求其对轨道最低点E的最大压力和最小压力？

Answer 1

（1）滑块恰好到达D点时速度为零，根据动能定理有：
-2μmgcos53°•(h)/(sin53°)=0-(1)/(2)m

v

2 0

得 v₀=√(3μgh)=√(3×0.05×10×1.5)=1.5m/s         
（2）最终滑块在光滑轨道上来回运动，且到达B点和C点时速度均为零，根据动能定理有：
 mgh-μmgcos53°•S=0-0
解得 S=(h)/(μcos53°)=(1.5)/(0.05×0.6)=50m             
（3）设滑块经过E点时的最小速率为v₁，最小支持力为N₁；最大速率为v₂，最大支持力为N₂．
根据牛顿第二定律有：
  N₁-mg=m(v21)/(R)
  N₂-mg=m(v22)/(R)
根据动能定理得
   mgR（1-cos53°）=(1)/(2)m

v

2 1

   mg[h+R（1-cos53°）]-μmgcos53°•(h)/(sin53°)=(1)/(2)m

v

2 2

解得：v₁=2m/s，v₂=√((263)/(8))m/s
   N₁=14.4N，N₂=60.6N            
由牛顿第三定律知滑块对轨道E点的最大压力为60.6N，最小压力为14.4N．
答：
（1）滑块P至少以1.5m/s的初速度v₀从A点下滑，才能冲上斜面CD到达D点．
（2）若滑块P在A点由静止开始下滑，它在两斜面上走过的路程S是50m．
（3）若滑块P在A点由静止开始下滑，其对轨道最低点E的最大压力为60.6N，最小压力为14.4N．