如果两个二次函数图象的开口向上，顶点坐标都相同，那么称这两个二次函数互为“同簇二次函数”，显然“同簇二次函数”不是唯一的．（1）已知二次函数y=3x2-6x+1．①写出它的开口方向

Question

如果两个二次函数图象的开口向上，顶点坐标都相同，那么称这两个二次函数互为“同簇二次函数”，显然“同簇二次函数”不是唯一的．
（1）已知二次函数y=3x²-6x+1．
①写出它的开口方向，顶点坐标；
②请写出它的两个不同的“同簇二次函数”．
（2）已知两个二次函数y₁=a₁（x-k₁）²+h₁，y₂=a₂（x-k₂）²+h_²是“同簇二次函数”，则a₁a₂___0，k₁___k₂，h₁___h₂（均填“>”、“=“、或“<”号）
①如果y₃=y₁+y₂也是y₁的“同簇二次函数”，求证：y₃的顶点在x轴上；
②如果直线y=t，与y₁、y₂顺次交于点A、B、C、D，且AB=BC=CD，求 (a2)/(a1)的值．

Answer 1

（1）①∵a=3>0，
∴抛物线的开口向上．
∵y=3x²-6x+1=3（x-1）²-2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）．
②由“同簇二次函数”的定义可知y₁=2（x-1）²-2，y₂=（x-1）²-2均是y=3x²-6x+1的同簇二次函数．
（2）∵由同簇二次函数可知a₁>0，a₂>0，k₁=k₂，h₁=h₂，
∴a₁a₂>0，k₁=k₂，h₁=h₂．
故答案为：>，=，=．
①∵y₃=y₁+y₂，
∴y₃=a₁（x-k₁）²+h₁+a₂（x-k₂）²+h₂．
∵k₁=k₂，h₁=h₂，
∴y₃=（a₁+a₂）（x-k₁）²+2h₁．
∵y₃与y₁互为同簇二次函数．
∴2h₁=h₁．
解得h₁=0．
∴y₃=（a₁+a₂）（x-k₁）²．
∴y₃的顶点在x轴上．
②将y₁=a₁（x-k₁）²+h₁与y=t联立解得：x=k₁±√((t-h1)/(a1))．
将y₂=a₂（x-k₁）²+h₁与y=t联立解得：x=k₁±√((t-h1)/(a2))．
∵AB=BC=CD，
∴AD=3BC．
∴2√((t-h1)/(a1))=6√((t-h1)/(a2))．
解得：(a2)/(a1)=9．