对于每个非零自然数n，x轴上有An（x，0），Bn（y，0）两点，以AnBn表示这两点间的距离，其中An，Bn的横坐标分别是方程组1x+1y＝2n+11x−1y＝−1的解，则A1B1+A2B2+…+A2013B2013的值等于2013201420132014

Question

对于每个非零自然数n，x轴上有A_n（x，0），B_n（y，0）两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，其中A_n，B_n的横坐标分别是方程组

(1)/(x)+(1)/(y)＝2n+1

(1)/(x)−(1)/(y)＝−1

的解，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₃B₂₀₁₃的值等于

(2013)/(2014)

(2013)/(2014)

．

Answer 1

方程组

(1)/(x)+(1)/(y)＝2n+1①

(1)/(x)−(1)/(y)＝−1②

，
①+②得(2)/(x)=2n，即x=(1)/(n)，
将x=(1)/(n)代入①得：y=(1)/(n+1)，
则原式=1×(1)/(2)+(1)/(2)×(1)/(3)+…+(1)/(2013)×(1)/(2014)=1-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+…+(1)/(2013)-(1)/(2014)=1-(1)/(2014)=(2013)/(2014)．
故答案为：(2013)/(2014)