已知二次函数f(x)满足f(0)=0,且对任意x∈R总有f(x+1)=f(x)+x+1,g(x)=2f(-x)+x,求f(g(x))的解析式

Question

已知二次函数f(x)满足f(0)=0,且对任意x∈R总有f(x+1)=f(x)+x+1,g(x)=2f(-x)+x,求f(g(x))的解析式

Answer 1

设二次函数f(x）=ax²+bx+c
满足又f(0)=0那么c=0
即f(x）=ax²+bx
又f(x+1)=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+2ax+a+bx+b=f(x)+x+1=ax²+bx+x+1
消去相同项
2ax+a+b=x+1
即2a=1,a+b=1.解得a=1/2,b=1/2
f(x）=1/2x²+1/2x
g(x)=2f(-x)+x=2(1/2 *(-x)²+1/2* (-x))+x=x²-x+x=x²
f(g(x))=1/2 *(x²)²+1/2 *(x²)=x⁴／2 +x²/2