求解一道关于概率论抽样分布的题目.设（X1,...,X2n）是来自正态总体N（μ,σ^2）的样本,令X的平均值=1/2n（i=1到2n求和Xi）,Y=（i=1到n求和）（Xi+Xn+i-2X的平均值）^2,求E（Y）.如图第6.10题

Question

求解一道关于概率论抽样分布的题目.
设（X1,...,X2n）是来自正态总体N（μ,σ^2）的样本,令X的平均值=1/2n（i=1到2n求和Xi）,Y=（i=1到n求和）（Xi+Xn+i-2X的平均值）^2,求E（Y）.如图第6.10题

Answer 1

Xi+Xi+1 服从N（2μ,4σ^2） ,E(Xi + Xi+1)=2μ
E(Y)=E((Xi+Xn+i -2X均值)^2)
=E[(Xi+Xn+i)^2+4X均值^2-4X均值(Xi+Xn+i)]
=E[(Xi+Xn+i)^2]+4E(X均值^2)-4E(X均值(Xi+Xn+i))
=D(Xi+Xi+n)+(E(Xi+Xi+n))^2+4 (D(X均值)+(E(X均值))^2)-4(cov(X均值(Xi+Xn+i)+E(X均值)E(Xi+Xi+n)
=4σ^2+4μ^2+4(σ^2+μ^2)-4(0+2μ^2)
=8σ^2