设f（x）在（-∞，+∞）上有定义且周期为2的奇函数．已知x∈（0，1）时，f（x）=lnx+cosx+ex+1，求当x∈[-4，-2]时，f（x）的表达式．

Question

设f（x）在（-∞，+∞）上有定义且周期为2的奇函数．已知x∈（0，1）时，f（x）=lnx+cosx+e^x+1，求当x∈[-4，-2]时，f（x）的表达式．

Answer 1

由于f（x）是奇函数，且在x=0处有定义，
所以f（0）=0，
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
f（x）=-f（-x）=-[ln（-x）+cos（-x）+e^-x+1]=-ln|x|-cosx-e^-x+1．
又有函数f（x）的周期性，
当x∈（-3，-2）时，有x+2∈（-1，0），
则f（x）=f（x+2）=-ln|x+2|-cos（x+2）-e^-（x+2）+1=-ln|x+2|-cos（x+2）-e^-x-1，
当x∈（-4，-3）时，有x+4∈（0，1），
则f（x）=f（x+4）=ln（x+4）+cos（x+4）+e^（x+4）+1=ln（x+4）+cos（x+4）+e^x+5．
再由周期性，f（-2）=f（0）=0，f（-3）=f（-1）=-f（1）=-f（1-2）=-f（-1），
所以f（-1）=0，
从而f（-3）=0，f（-4）=f（-2）=f（0）=0，
故f(x)＝

ln(x+4)+cos(x+4)+ex+5	x∈(−4，−3)
−ln|x+2|−cos(x+2)−e−x−1	x∈(−3，−2)
0	x＝−4，−3，−2

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