如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的

Question

如图，抛物线y=x²在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A₁，A₂，A₃…A_n，…．将抛物线y=x²沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：

①抛物线的顶点M₁，M₂，M₃，…M_n，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次经过点A₁，A₂，A₃…A_n，…．
则顶点M₂₀₁₄的坐标为（______，______）．

Answer 1

M₁（a₁，a₁）是抛物线y₁=（x-a₁）²+a₁的顶点，
抛物线y=x²与抛物线y₁=（x-a₁）²+a₁相交于A₁，
得x²=（x-a₁）²+a₁，
即2a₁x=a₁²+a₁，
x=(1)/(2)（a₁+1）．
∵x为整数点
∴a₁=1，
M₁（1，1）；
M₂（a₂，a₂）是抛物线y₂=（x-a₂）²+a₂=x²-2a₂x+a₂²+a₂顶点，
抛物线y=x²与y₂相交于A₂，
x²=x²-2a₂x+a₂²+a₂，
∴2a₂x=a₂²+a₂，
x=(1)/(2)（a₂+1）．
∵x为整数点，
∴a₂=3，
M₂（3，3），
M₃（a₃，a₃）是抛物线y₂=（x-a₃）²+a₃=x²-2a₃x+a₃²+a₃顶点，
抛物线y=x²与y₃相交于A₃，
x²=x²-2a₃x+a₃²+a₃，
∴2a₃x=a₃²+a₃，
x=(1)/(2)（a₃+1）．
∵x为整数点
∴a₃=5，
M₃（5，5），
∴点M₂₀₁₄，两坐标为：2014×2-1=4027，
∴M₂₀₁₄（4027，4027），
故答案为：（4027，4027）