线性代数线性相关与线性表出之间有没有什么联系?

Question

线性代数
线性相关与线性表出之间有没有什么联系?

Answer 1

能线性表出的几个向量一定是线性相关的.
但是反过来不一定成立.
比如.a1=k2a2+k3a3+k4a4
可以化成:(-1)a1+k2a2+k3a3+k4a4=0
注意:a1,a2,a3,a4是向量,k1,k2,k3,k4是系数.
因为a1的系数不是零,所以系数里至少有一项(-1)不是零,符合线性相关的定义.所以由线性表出一定能推出线性相关
反过来.比如k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0
由线性相关的定义知道:k1,k2,k3,k4至少一项不为零.
我们假设k3≠0,假设k1=k2=k4=0
那么只有a3能由其他向量线性表出:a3=-1/a3*(k2a2+k3a3+k4a4)
而a1,a2,a4却不能由其他向量线表出,因为它们的系数为零
可见,线性相关不一定能推出线性表出.
这就是两者的关系啦
问得好,这个问题我也想过,后来自己想出来了
学数学就是要多动脑,不错,继续努力