如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图（尺寸如图所示）；（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；（Ⅱ）求证平面PBC⊥平面PABE；（Ⅲ）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．

Question

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图（尺寸如图所示）；
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）求证平面PBC⊥平面PABE；
（Ⅲ）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．

Answer 1

（I）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，
PA⊥平面ABCD，PA∥EB，…（2分）
且PA=4√(2)，BE=2√(2)，AB=AD=CD=CB=4，
∴VP−ABCD＝(1)/(3)PA•S ABCD=(1)/(3)×4√(2)×4×4＝(64√(2))/(3)  …（5分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，PA⊊平面PABE
∴平面ABCD⊥平面PABE…（7分）
又BC⊥AB
∴BC⊥平面PABE，
BC⊊平面PBC
∴平面 PBC⊥平面PABE     …（10分）
（Ⅲ）连BP，(EB)/(AB)＝(BA)/(PA)＝(1)/(√(2))，
∠EBA=∠BAP=90°，
∴∠PBA=∠BEA，
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°

∴PB⊥AE…（12分）
又BC⊥平面APEB，
∴BC⊥AE，
∴AE⊥平面PBG，
∴AE⊥PG…（14分）