已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，（1）若|AB|=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．

Question

已知直线l：y=x+m与抛物线y²=8x交于A、B两点，
（1）若|AB|=10，求m的值；
（2）若OA⊥OB，求m的值．

Answer 1

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
（1）

y=x+m

y2=8x

⇒x²+（2m-8）x+m²=0------------------------------（1分）
⇒

△=(2m-8)2-4m2＞0

x1+x2=8-2m

x1x2=m2

-----------------------------------------------（3分）|AB|=√(2)|x1-x2|=√(2)√((x1+x2)2-4x1x2)=10，m=(7)/(16)----（5分）
∵m＜2，∴m=(7)/(16)---------------------------------------------------------（6分）
（2）∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0------------------------------------（7分）
x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0-----------------------------------------（9分）
2m²+m（8-2m）+m²=0，m²+8m=0，m=0orm=-8，---------------------------------（11分）
经检验m=-8------------------------------------------------------------（12分）