关于矩阵的秩的求解我想问一下,1）在求一个矩阵秩的时候,要把矩阵化为行阶梯型,行阶梯型不就是最后一行全是零,其余的都是非零行么,那还计算干什么,直接用矩阵的行数减一不就得到矩阵

Question

关于矩阵的秩的求解
我想问一下,1）在求一个矩阵秩的时候,要把矩阵化为行阶梯型,行阶梯型不就是最后一行全是零,其余的都是非零行么,那还计算干什么,直接用矩阵的行数减一不就得到矩阵的秩了么?干嘛还得那么复杂的变换?有点画蛇添足的感觉.2）还有就是一个矩阵A和它的增广矩阵B=（A,b),为什么要把这A放到B里对B进行初等变换得到行阶梯型后确定A的秩?单独对A进行变换求A的秩怎么就不行?3）行阶梯型全是零的行的行数怎么确定?到底应该有几行?阶梯线上非零数的个数怎么确定?

Answer 1

你有这些问题说明你没有理解矩阵的秩,这些问题很幼稚,甚至很可笑
1）行阶梯型矩阵是初等行变换化出来的,不一定就是1行.非零行的行数是由矩阵本身决定,他等于矩阵的秩.有个定理,矩阵初等行（列）变化不改变矩阵的秩.
2）你单独求R（A)当然可以,但是很多时候我们想知道R(A,b),进而求解方程AX=b.那么对增广矩阵做初等变换就可以顺带解决后面的问题.我们知道,AX=b的解和R（A)、R(A,b)与n的关系密切,即所谓线性方程组的解的结构定理.这里不细说.可以参考任何一本线性代数教材
3）这个是化简的结果.非零行行数就是矩阵的秩.矩阵A的秩可以理解为方程组AX=b中有效方程的个数.