RT①行满秩矩阵乘以列满秩矩阵结果一定满秩②列满秩矩阵乘以行满秩矩阵结果一定不满秩,这两句对吗我不知怎么用理论证明,举了几个例子是这样.

Question

RT
①行满秩矩阵 乘以 列满秩矩阵 结果一定满秩②列满秩矩阵 乘以 行满秩矩阵 结果一定不满秩,这两句对吗
我不知怎么用理论证明,举了几个例子是这样.

Answer 1

两句都不对.
①取行向量A = (1,0),列向量B = (0,1)'.
则A行满秩,B列满秩,但AB = 0,r(AB) < 1不满秩.
②直接取A,B都是满秩方阵,此时AB也满秩.
如果将②改为:A不是行满秩的,且B不是列满秩的,那么可以证明AB不满秩.
因为r(AB) ≤ r(A) < A的行数 = AB的行数,且r(AB) ≤ r(B) < B的列数 = AB的列数,
即AB既不是行满秩的也不是列满秩的.