已知向量组（Ⅰ）α1，α2，α3的秩为3，向量组（Ⅱ）α1，α2，α3，α4的秩为3，向量组（Ⅲ）α1，α2，α3，α5的秩为4，证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

Question

已知向量组（Ⅰ）α₁，α₂，α₃的秩为3，向量组（Ⅱ）α₁，α₂，α₃，α₄的秩为3，向量组（Ⅲ）α₁，α₂，α₃，α₅的秩为4，证明向量组α₁，α₂，α₃，α₅-α₄的秩为4．

Answer 1

证明：向量组α₁，α₂，α₃的秩为3，向量组α₁，α₂，α₃，α₄的秩为3，
所以α₁，α₂，α₃为向量组α₁，α₂，α₃，α₄的一个极大无关组，
因此α₄可唯一的由α₁，α₂，α₃线性表示；
假设向量组α₁，α₂，α₃，α₅-α₄的秩不为4，
又因为向量组α₁，α₂，α₃的秩为3，
所以向量组α₁，α₂，α₃，α₅-α₄的秩为3，
因此α₅-α₄也可唯一的由α₁，α₂，α₃线性表示，
因此α₅可唯一的由α₁，α₂，α₃线性表示；
而向量组α₁，α₂，α₃，α₅的秩为4，即α₁，α₂，α₃，α₅线性无关，
因此α₅不能由α₁，α₂，α₃线性表示，矛盾．
因此向量组α₁，α₂，α₃，α₅-α₄的秩为4．
证毕．