已知二次型f（x1，x2，x3）=（1-a）x12+（1-a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化成标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解．

Question

已知二次型f（x₁，x₂，x₃）=（1-a）x₁²+（1-a）x₂²+2x₃²+2（1+a）x₁x₂的秩为2．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 求正交变换x=Qy，把f（x₁，x₂，x₃）化成标准形；
（Ⅲ） 求方程f（x₁，x₂，x₃）=0的解．

Answer 1

（1）
二次型对应矩阵为A，由二次型的秩为2，
知：

.

A

.

＝

.

1−a	1+a	0
1+a	1−a	0
0	0	2

.

=-8a=0，
解得a=0．

（2）

.

λI−A

.

=

.

λ−1	−1	0
−1	λ−1	0
0	0	λ−2

.

=λ（λ-2）²，
可求出其特征值为：λ₁=λ₂=2，λ₃=0．
①解 （2E-A）x=0，得特征向量为：α1＝

1

1

0

，α2＝

0

0

1

，
②解 （0E-A）x=0，得特征向量为：α3＝

1

−1

0

．
由于α₁，α₂已经正交，直接将α₁，α₂，α₃单位化，得：
η1＝(1)/(√(2))

1

1

0

，η2＝

0

0

1

，η3＝(1)/(√(2))

1

−1

0

.
令Q＝

α1，α2，α3

，即为所求的正交变换矩阵，
由x=Qy，可化原二次型为标准形：
f（x₁，x₂，x₃）=2y12+2y22．

（3）
由f（x₁，x₂，x₃）=2

y

2 1

+2

y

2 2

=0，
得：y₁=0，y₂=0，y₃=k（k为任意常数）．
从而所求解为：
x=Qy=

η1，η2，η3

0

0

k

=kη₃=

c

−c

0

，其中c为任意常数．