设η*是非齐次线性方程组AX=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，证明：η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关．

Question

设η^*是非齐次线性方程组AX=b的一个特解，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r是对应的齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，证明：η^*，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r线性无关．

Answer 1

证明：对于向量组η*，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r，
假设存在一组实数，k₀，k₁，k₂，…，k_n-r，使得
k0η*+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0…①
在①两边同时左乘矩阵A，得
k0Aη*+k1Aξ1+k2Aξ2+…+kn-rAξn-r=0
由于η^*是Ax=b的解，即Aη*=b；
而Ax=b是非齐次线性方程组，即b≠0
同时ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r为Ax=0的一个基础解系，因此，Aξ_i=0（i=1，2，…，n-r）
因此k0Aη*=k0b=0
∴k₀=0
再代回①得
k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-rξ_n-r=0
再次由于ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r为Ax=0的一个基础解系，得k₁=k₂=…=k_n-r=0
∴k₀=k₁=k₂=…=k_s=0
从而向量组η^*，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r线性无关．