求微分方程的特解y"=1+y'^2求微分方程的通解y"=1+y'^2和y"=(y')^3+y'求微分方程的特解y"-ay'^2=0(x=0,y=0y'=-1)

Question

求微分方程的特解 y"=1+y'^2
求微分方程的通解 y"=1+y'^2 和y"=(y')^3 +y'
求微分方程的特解 y"-ay'^2=0 ( x=0,y=0 y'=-1)

Answer 1

y''=!+y'^2,因此d(arctan(y'))=1,arctan(y')=x+C,y'=tan(x+C).y=--ln|cos(x+C)|+D.
y''=(y')^3+y‘,y''/((1+(y')^2)=y',d(arctan(y'))=dy,arctan(y')=y+C,y'=tan(y+C),
dy/tan(y+C)=dx,d(ln|sin(y+C)|)=dx,ln|sin(y+C)|=x+D1,sin(y+C)=De^x.
y''=a(y’)^2,y''/(y')^2=a,即(1/y')'=--y''/(y')^2=--a,1/y'=--ax+C,代入x=0时,y‘==-1知道C=--1,于是1/y'=--ax--1,y’=--1/(ax+1).y=--ln(1+ax)/a+D,再代入x=0时,y=0得D=0,故
y=--ln(1+ax)/a.
以上是a不等于0时的情况.当a=0时,易得y=1--x.