求微分方程的一个特解y’’+y＝xcos2x

Question

求微分方程的一个特解y’’+y＝xcos2x

Answer 1

解∵齐次方程y''+y=0的特征方程是r²+1=0,则r=±i (i是虚数)
∴此齐次方程的通解是y=C1*cosx+C2*sinx (C1,c2是积分常数)
令原方程的解为y=(Ax+B)cos(2x)+(Cx+D)sin(2x)
∵y‘=(2Cx+A+2D)cos(2x)+(-2Ax-2B+C)sin(2x)
y''=(-4Ax-4B+4C)cos(2x)+(-4Cx-4A-D)sin(2x)
代入原方程,求得A=-1/3,B=C=0,D=4/9
∴原方程的一个解是y=(4/9)sin(2x)-(x/3)cos(2x)
故原方程的通解是y=C1*cosx+C2*sinx+(4/9)sin(2x)-(x/3)cos(2x) (C1,c2是积分常数).