已知定点F1(−2，0)，F2(2，0)，动点P满足条件：|PF2|−|PF1|＝2，点P的轨迹是曲线E，直线l：y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果|AB|＝63．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若曲线E上存在点C，使OA+OB＝mO

Question

已知定点F1(−√(2)，0)，F2(√(2)，0)，动点P满足条件：|

PF2

|−|

PF1

|＝2，点P的轨迹是曲线E，直线l：y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果|AB|＝6√(3)．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若曲线E上存在点C，使

OA

+

OB

＝m

OC

，求m的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵|

PF2

|−|

PF1

|＝2＜F1F2＝2√(2)
∴点P的轨迹是以F1(−√(2)，0)，F2(√(2)，0)为焦点，c＝√(2)，a＝1的双曲线的左支，
∴曲线E的方程为x²-y²=1（x＜-1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx-1代入x²-y²=1消去y得（1-k²）x²+2kx-2=0
∴△＝4k2+8(1−k2)＝8−4k2＞0，x1+x2＝(2k)/(k2−1)＜0，x1•x2＝(2)/(k2−1)＞0
∴|AB|＝√(作业帮用户2016-12-15问题解析（Ⅰ）由题意知，点P的轨迹是以F1(−√(2)，0)，F2(√(2)，0)为焦点，c＝√(2)，a＝1的双曲线的左支，从而写出曲线E的方程，再设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=kx-1代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．（Ⅱ）先设C（x0，y0），由已知条件中向量关系得到点C的坐标用m来表示的式子，将点C（x0，y0）的坐标代入双曲线方程求得m的值即可．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、双曲线定义的应用等基础知识，考查运算求解能力． 当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)