已知椭圆M：x2a2+y23=1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为12，求椭圆上到l的距离为355的点

Question

已知椭圆M：(x2)/(a2)+(y2)/(3)=1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l的斜率为(1)/(2)，求椭圆上到l的距离为(3√(5))/(5)的点的个数；
（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）因为椭圆的焦点为F（-1，0），所以c=1，
又b²=3所以a²=4，
所以椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1…（2分）
（Ⅱ）直线l的斜率为(1)/(2)，方程为x-2y+1=0，设切线y=(1)/(2)x+b，
与椭圆方程联立，得4x²+4bx+4b²-12=0，
由△=0得b=±2，
∴切线方程为x-2y±4=0，
x-2y+4=0与l的距离为(|4-1|)/(√(5))=(3√(5))/(5)，x-2y-4=0与l的距离为(|-4-1|)/(√(5))=√(5)＞(3√(5))/(5)
∴椭圆上到l的距离为(3√(5))/(5)的点的个数为3个；
（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线为x=-1，此时C(-1，-(3)/(2))，D(-1，(3)/(2))
△ABD与△ABC面积相等，|S₁-S₂|=0                           …（7分）
当直线l斜率存在时，显然k≠0，
设直线为y=k（x+1）（k≠0）联立椭圆方程得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
显然△＞0，且x1+x

作业帮用户 2017-11-01