（2012•淮南二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-43y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=12，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．（1）求椭圆的方程；（2）若

Question

（2012•淮南二模）已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，（a＞b＞0）与双曲4x²-(4)/(3)y²=1有相同的焦点，且椭C的离心e=(1)/(2)，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直MA交直x=4于点P，过P作直线MB的垂线x轴于点Q，Q的坐标；
（3）求点P在直线MB上射R的轨迹方程．

Answer 1

（1）由题意知，双曲线4x²-(4)/(3)y²=1，∴c=1，
∵椭圆的离心率为e=(1)/(2)，∴a=2，
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1           （3分）
（2）设M（x，y），P（4，z），则(MN)/(PD)＝(AN)/(AD)，得(y)/(z)＝(x+2)/(6)，故z＝(6y)/(x+2)．
设Q（x₀，0），由PQ⊥MB得：((6y)/(x+2))/(4−x0)×(y)/(x−2)＝−1，
又M在椭圆上，故x²=4-(4)/(3)y2，化简得x0＝−(1)/(2)，即Q（−(1)/(2)，0）（8分）
（3）点P在直线MB上射影即PQ与MB的交点H，由QH⊥HB得△HQB为直角三角形，
设E为QB中点，则|HE|=(1)/(2)|QB|=(5)/(4)，E（(3)/(4)，0），
因此H点的轨迹方程为(x−(3)/(4))2+y2＝(25)/(16)(y≠0)（13分）