求三角形的面积已知三角形3个边的长就这个三角形的面积

Question

求三角形的面积已知三角形3个边的长 就这个三角形的面积

Answer 1

s=根号[(p-a)(p-b)(p-c)p] p=(a+b+c)/2 证明（1）： 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）： 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P＝1时，△ 2＝q, S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 因式分解得 1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得： S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。 S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a. 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题： 已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积 这里用海伦公式的推广 S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边） 代入解得s=8√ 3 海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则 S△ABC = aha= ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的变形 S= =① =② =③ =④ =⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。 证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。 证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。 证三：余弦定理 分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。 证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入④，得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。 证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz ∵由证一，x = = －c = p－c y = = －a = p－a z = = －b = p－b ∴ r3 = ∴ r = ∴S△ABC = r·p = 故得证。 三、 海伦公式的推广 由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形= 现根据猜想进行证明。 证明：如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴ = = = 解得： e = ① f = ② 由于S四边形ABCD = S△EAB 将①，②跟b = 代入公式变形④，得： ∴S四边形ABCD = 所以，海伦公式的推广得证。 四、 海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求：四边形可能为等腰梯形。 设BC = x 由海伦公式的推广，得： (4－x)(2＋x)2 =27 x4－12x2－16x＋27 = 0 x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0 (x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 当x = 1时，AD = BC = 1 ∴ 四边形可能为等腰梯形。