设双曲线x^2-y^2/3=1的左右焦点分别为F1,F2,P是直线x=4上的动点,诺∠F1PF2=θ则θ的最大值为

Question

设双曲线x^2-y^2/3=1的左右焦点分别为F1,F2,P是直线x=4上的动点,诺∠F1PF2=θ
则θ的最大值为

Answer 1

x^2-y^2/3=1
a^2=1,b^2=3,c^2=1+3=4
故F1坐标是（－2,0）和F2坐标是（2,0）.设P坐标是（4,n）
向量PF1=(-6,-n),PF2=(-2,-n),设角F1PF2＝@
cos@=向量PF1·PF2/｜PF1|*|PF2|=(12+n^2)/根号(36+n^2)*根号(4+n^2)=(12+n^2)/根号（144+40n^2+n^4）=(12+n^2)/根号[(n^2+12)^2+16(n^2+12)-16*12]=1/根号[1+16/(n^2+12)-192/(n^2+12)^2]
分母的最大值＝（4ac-b^2）/4a=c-b^2/4a=1-16^2/(4*(-192))=4/3
那么cos@的最小值是1/根号（4/3）=根号3/2
故@有最大值是30度.
即有角F1PF2的最大值是30度.