已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若|PF2|2|PF1|-|OA|存在最小值为12a，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的

Question

已知双曲线

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若(|PF2|2)/(|PF1|-|OA|)存在最小值为12a，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是（　　）

A.

(1)/(5)

B.

(1)/(2)

C.

(2√(6))/(5)

D.

(√(3))/(5)

Answer 1

设|PF₁|-|OA|=m，则(|PF2|2)/(|PF1|-|OA|)=((3a+m)2)/(m)=m+(9a2)/(m)+6a≥12a，
当且仅当m=3a，取等号，∴|PF₁|=4a，
∴4a≥c-a，∴5a≥c，
∴25a²≥a²+b²，∴(b)/(a)≤2√(6)，
设双曲线一三象限的渐近线倾斜角为α，则0<tanα≤2√(6)，∴cosα≥(1)/(5)，
∴双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是(1)/(5)，
故选：A．